Nguyên lý tương đối, mà nội dung là các định luật vật lý có cùng dạng thức trong mọi hệ quy chiếu quán tính, có lịch sử từ Galileo, và được đưa vào vật lý Newton. Nhưng vào cuối thế kỷ 19, việc khám phá ra sự tồn tại của sóng điện từ đưa các nhà vật lý đề xuất ra một chất nền ête (aether) tràn ngập trong vũ trụ mà nó có vai trò là môi trường giúp ánh sáng lan truyền. Ête được cho là thành phần của một "hệ quy chiếu tuyệt đối" mà trên đó dùng để đo tốc độ, và hệ quy chiếu này được xem là cố định và bất biến. Chất ête giả thuyết này có những tính chất kỳ lạ: nó đủ đàn hồi để hỗ trợ cho sóng điện từ, và các sóng này có thể tương tác với vật chất, và môi trường ête không gây ra ma sát khi vật thể đi qua nó. Tuy nhiên, nhiều kết quả thí nghiệm khác nhau bao gồm thí nghiệm Michelson–Morley chỉ ra rằng không tồn tại chất ête này.[24] Thuyết tương đối đặc biệt của Einstein đã bác bỏ khái niệm aether và sự tồn tại của hệ quy chiếu tuyệt đối. Trong thuyết tương đối, trong cùng một hệ quy chiếu bất kỳ chuyển động đều, mọi định luật vật lý sẽ cho cùng một kết quả. Đặc biệt là, tốc độ ánh sáng trong chân không luôn luôn đo được bằng c, ngay cả khi đang đo trong nhiều hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc đều khác nhau.

Hệ quy chiếu và chuyển động tương đối

Hệ quy chiếu O'x'y'z' đang chuyển động tương đối so với hệ quy chiếu Oxyz với vận tốc không đổi v dọc theo trục x, nhìn từ một quan sát viên đứng trong hệ quy chiếu Oxyz. Theo nguyên lý tương đối, một quan sát viên đứng yên trong hệ quy chiếu O'x'y'z' quan sát thấy hệ Oxyz đang chuyển động với vận tốc không đổi −v. Sự thay đổi tốc độ lan truyền tương tác trong cơ học phi tương đối tính từ vô hạn sang giá trị hữu hạn sẽ đòi hỏi sự thay đổi trong phương trình biến đổi ánh xạ các sự kiện từ một hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu kia.

Hệ quy chiếu đóng một vai trò quan trọng trong thuyết tương đối hẹp. Thuật ngữ hệ quy chiếu được sử dụng ở đây là một khung cảnh quan sát trong không gian mà không đang trải qua một thay đổi nào trong chuyển động đều (tức là xuất hiện chuyển động gia tốc), và từ khung cảnh này vị trí có thể đo theo ba trục không gian. Thêm vào đó, một hệ quy chiếu có khả năng xác định các phép đo thời gian của các sự kiện sử dụng một 'đồng hồ' (nghĩa là bất kỳ một thiết bị tham chiếu nào có cơ cấu chuyển động tuần hoàn).

Một sự kiện là một sự xuất hiện mà có thể gán cho tọa độ trong một hệ quy chiếu ở một thời điểm duy nhất trong thời gian và vị trí trong không gian: nó là một "điểm" trong không thời gian. Vì tốc độ ánh sáng là không đổi trong thuyết tương đối trong mọi hệ quy chiếu, các xung ánh sáng có thể được sử dụng để đo khoảng cách một cách rõ ràng và tham chiếu đến thời gian mà các sự kiện xảy ra ở đồng hồ đo, thậm chí khi ánh sáng mất một khoảng thời gian để đi tới đồng hồ sau khi sự kiện đã diễn ra.

Ví dụ, vụ nổ một bánh pháo có thể coi như là một "sự kiện". Chúng ta có thể xác định hoàn toàn sự kiện này trong không thời gian bốn chiều: Thời gian xảy ra và vị trí không gian 3 chiều của nó xác định lên điểm tọa độ. Đặt hệ quy chiếu này là S.

Trong thuyết tương đối chúng ta thường muốn tính vị trí của một điểm từ một điểm quy chiếu khác.

Giả sử chúng ta có hệ quy chiếu thứ hai S′, mà các trục không gian và đồng hồ nằm trùng với của hệ S ở lúc thời điểm bằng 0, và bắt đầu chuyển động với vận tốc đều v so với S dọc theo trục x.

Bởi vì không có hệ quy chiếu tuyệt đối trong thuyết tương đối, khái niệm 'đang chuyển động' không mang nghĩa tuyệt đối, khi có thể coi một thứ như đang chuyển động với một hệ quy chiếu khác. Thật vậy, bất kỳ hai hệ quy chiếu nào chuyển động với cùng vận tốc trong cùng một hướng được nói là cùng chuyển động. Do vậy, S và S′ không cùng chuyển động.

Phép biến đổi Lorentz

Minh họa trường hợp đặc biệt để dẫn ra phép biến đổi Lorentz.

Xét hai hệ quy chiếu R ′ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} và R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , trong đó hệ quy chiếu R ′ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} chuyển động với vận tốc đều v → {\displaystyle {\vec {v}}} so với hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} . Để phân tích cho đơn giản, đầu tiên chúng ta xét trường hợp "đặc biệt", trong đó ký hiệu ba trục không gian của hai hệ quy chiếu lần lượt tương ứng là x, y, z và x′, y′, z′ song song với nhau, ban đầu các trục trùng nhau tại O và O' và cả hai đồng hồ đều chỉ t = 0 và t' = 0. Sau đó O′x′ bắt đầu chuyển động với vận tốc v → {\displaystyle {\vec {v}}} so với trục Ox. Trường hợp "đặc biệt" này không làm ảnh hưởng đến kết quả tổng quát. Công thức của phép biến đổi cho trường hợp hai hệ quy chiếu chuyển động theo hướng bất kỳ sẽ được đưa ra ở dưới.

Hai tiên đề của Einstein đưa đến phép biến đổi mang tên nhà vật lý Hendrik Lorentz. Công thức Lorentz cho phép biểu diễn các tọa độ (x, y, z, t) của một sự kiện nằm trong hệ quy chiếu đứng yên (chẳng hạn trên Trái Đất) như là hàm của các tọa độ (x′, y′, z′, t′) của cùng sự kiện nhưng ở trong hệ quy chiếu đang chuyển động (chẳng hạn trong tên lửa). Công thức liên hệ:

{ c t = γ ( c t ′ + β x ′ ) x = γ ( x ′ + β c t ′ ) y = y ′ z = z ′ {\displaystyle {\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta x')\\x=\gamma (x'+\beta ct')\\y=y'\\z=z'\end{cases}}}

với β {\displaystyle \beta } và γ {\displaystyle \gamma } là các hệ số xác định bằng β = v / c γ = 1 1 − β 2 {\displaystyle \beta =v/c\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}

Các công thức này là dạng thu gọn và sẽ trở thành công thức cho phép quay nếu chúng ta sử dụng hàm hyperbolic đối số θ, cho vận tốc, tương ứng với quay một góc trong không gian Minkowski, xác định bởi tanh ⁡ θ = v / c ≡ β và θ = artanh ⁡ ( v / c ) ≡ artanh β {\displaystyle \tanh \theta =v/c\equiv \beta \qquad {\text{và}}\qquad \theta =\operatorname {artanh} (v/c)\equiv \operatorname {artanh} \,\beta }

Bằng cách đặt trên thu được γ = ( 1 − β 2 ) − 1 / 2 = ( 1 − tanh 2 θ ) − 1 / 2 = cosh θ {\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}=(1-\tanh ^{2}\,\theta )^{-1/2}=\cosh \,\theta } và

{ c t = c t ′ cosh θ + x ′ sinh θ x = c t ′ sinh θ + x ′ cosh θ {\displaystyle {\begin{cases}ct=ct'\cosh \,\theta +x'\sinh \,\theta \\x=ct'\sinh \,\theta +x'\cosh \,\theta \end{cases}}}

Phép biến đổi ngược có thể thu được bằng cách đặt β bằng -β, và θ bằng -θ.

Lưu ý: để xác định dấu của sinh θ chỉ cần xét một điểm đứng yên trong hệ quy chiếu (chẳng hạn trong hệ quy chiếu gắn cùng với tên lửa, ví dụ với x′ = 0) và xét xem dấu của các tọa độ không gian còn lại ở hệ quy chiếu kia (chẳng hạn hệ quy chiếu cố định trong đó x tăng dần nếu vận tốc của tên lửa có dấu dương).

Viết công thức của phép biến đổi Lorentz và dạng nghịch đảo của nó theo hiệu của các tọa độ, mà ví dụ một sự kiện có tọa độ (x1, t1) và (x′1, t′1), một sự kiện khác có tọa độ (x2, t2) và (x′2, t′2), và hiệu các tọa độ này bằng

Δ x ′ = x 2 ′ − x 1 ′ Δ x = x 2 − x 1 Δ t ′ = t 2 ′ − t 1 ′ Δ t = t 2 − t 1 {\displaystyle {\begin{array}{ll}\Delta x'=x'_{2}-x'_{1}&\Delta x=x_{2}-x_{1}\\\Delta t'=t'_{2}-t'_{1}&\Delta t=t_{2}-t_{1}\\\end{array}}}

chúng ta thu được

Δ x ′ = γ   ( Δ x − v Δ t ) Δ x = γ   ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) Δ t ′ = γ   ( Δ t − v Δ x c 2 ) Δ t = γ   ( Δ t ′ + v Δ x ′ c 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{ll}\Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)&\Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\\\Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-{\dfrac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)&\Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+{\dfrac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\\\end{array}}}

Các hiệu ứng này có liên hệ tường minh với cách chúng ta đo khoảng thời gian giữa các sự kiện xảy ra ở cùng vị trí trong một hệ tọa độ (gọi là các sự kiện "đồng cục bộ"). Những khoảng thời gian này sẽ khác nhau trong một hệ quy chiếu khác chuyển động so với hệ quy chiếu đầu tiên, trừ khi các sự kiện xảy ra đồng thời. Tương tự, các hiệu ứng này cũng liên hệ với khoảng cách đo giữa hai sự kiện xảy ra đồng thời nhưng tách biệt về vị trí trong một hệ tọa độ. Nếu các sự kiện này không đồng cục bộ, nhưng cách nhau bởi một khoảng cách (không gian), chúng sẽ không xảy ra ở cùng một khoảng cách không gian so với nhau khi nhìn từ một hệ quy chiếu đang chuyển động đều khác. Tuy nhiên, khoảng không thời gian sẽ là như nhau đối với mọi quan sát viên.

Phép biến đổi Lorentz cho chuyển động theo hướng bất kỳ

Trường hợp đặc biệt của phép biến đổi nêu ở trên thường được áp dụng vì dạng đơn giản của nó, và có thể viết ra công thức tổng quát cho trường hợp bất kỳ. Trường hợp tổng quát khi không có một trong các trục tọa độ song song với nhau và chuyển động theo hướng bất kỳ với vận tốc miêu tả bởi vectơ vận tốc v → {\displaystyle {\vec {v}}} . Luôn luôn có thể tách vectơ r → {\displaystyle {\vec {r}}} thành hai thành phần: một thành phần song song r → / / {\displaystyle {\vec {r}}_{//}} và một thành phần vuông góc r → ⊥ {\displaystyle {\vec {r}}_{\bot }} . Do vậy: r → = r → / / + r → ⊥ {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{//}+{\vec {r}}_{\bot }} Đặt β → = v → / c {\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {v}}/c} Phép biến đổi Lorentz trở thành: { c t ′ = γ ( c t − β → ⋅ r → ) r ′ → / / = γ ( − β → c t + r → / / ) r ′ → ⊥ = r → ⊥ {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ct'=\gamma (ct-{\vec {\beta }}{\cdot }{\vec {r}})\\{\vec {r'}}_{//}=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}}_{//})\\{\vec {r'}}_{\bot }={\vec {r}}_{\bot }\\\end{matrix}}\right.} dẫn đến r ′ → = r ′ → ⊥ + r ′ → / / = γ ( − β → c t + r → / / ) + r → ⊥ = γ ( − β → c t + r → ) − ( γ − 1 ) r → ⊥ {\displaystyle {\vec {r'}}={\vec {r'}}_{\bot }+{\vec {r'}}_{//}=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}}_{//})+{\vec {r}}_{\bot }=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}})-(\gamma -1){\vec {r}}_{\bot }} Khi β → × r → = β → × ( r → ⊥ + r → / / ) = β → × r → ⊥ {\displaystyle {\vec {\beta }}\times {\vec {r}}={\vec {\beta }}\times ({\vec {r}}_{\bot }+{\vec {r}}_{//})={\vec {\beta }}\times {\vec {r}}_{\bot }} ta có (phép nhân có hướng vectơ với β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} ) β → × ( β → × r → ) = − β 2 r → ⊥ {\displaystyle {\vec {\beta }}\times ({\vec {\beta }}\times {\vec {r}})=-\beta ^{2}{\vec {r}}_{\bot }} Do vậy chúng ta nhận được biểu thức tổng quát của phép biến đổi Lorentz: { c t ′ = γ ( c t − β → ⋅ r → ) r ′ → = γ ( − β → c t + r → ) + [ ( γ − 1 ) / β 2 ] β → × ( β → × r → ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ct'=\gamma (ct-{\vec {\beta }}{\cdot }{\vec {r}})\\{\vec {r'}}=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}})+[(\gamma -1)/\beta ^{2}]\,{\vec {\beta }}\times ({\vec {\beta }}\times {\vec {r}})\\\end{matrix}}\right.}

Phép đo so với hình ảnh nhìn thấy

Hiệu ứng giãn thời gian và co độ dài không phải là những ảo ảnh quang học mà là những hiệu ứng thực sự. Các phép đo hai hiệu ứng này không phải là hiệu ứng Doppler giả, chúng là kết quả của sự bỏ qua thời gian ánh sáng truyền đi trên một quãng đường từ một sự kiện đến quan sát viên.

Do đó, các nhà vật lý phân biệt rõ ràng giữa phép đo hoặc quan sát so với hình ảnh nhìn thấy, hoặc đơn giản là nhìn thấy.

Hình 1-13. So sánh phép đo độ dài co lại của một hình lập phương với hình ảnh nhìn thấy của nó.

Trong nhiều năm, việc phân biệt giữa hai hành động này không được xem xét một cách cẩn thận. Ví dụ, trước đây các nhà vật lý đa số nghĩ rằng sự co độ dài của một vật vượt qua một quan sát viên thực ra chỉ là nhìn thấy độ dài co lại. Năm 1959, James Terrell và Roger Penrose đã độc lập chỉ ra các hiệu ứng từ sự chênh lệch trễ thời gian trong tín hiệu đến quan sát viên từ những phần khác nhau của vật thể đang chuyển động tạo ra hình ảnh của vật thể đang chuyển động khá khác so với hình dạng đo được. Ví dụ, một vật đang chạy ra xa sẽ dường như co lại, trong khi vật đang chạy lại gần dường như bị kéo dài ra, và một vật bằng qua sẽ có hình ảnh trông bị xiên mà như bởi sự quay.[25][26][27][28] Một quả cầu chuyển động vẫn giữ hình ảnh của quả cầu, mặc dù các ảnh gắn trên bề mặt của nó sẽ bị bóp méo.[29]

Hình 1-14. Lỗ đen ở trung tâm thiên hà M87 phóng ra luồng tia chứa các electron và hạt hạ nguyên tử chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng.

Hình 1‑13 minh họa một khối lập phương nhìn từ khoảng cách xa bằng 4 lần chiều dài cạnh của nó. Ở vận tốc cao, các cạnh của khối lập phương mà vuông góc với hướng chuyển động trông như có dạng đường hypebol. Khối lập phương thực sự không bị quay. Thực sự là, ánh sáng từ đằng sau khối lập phương mất thêm thời gian để đi tới mắt của quan san viên so với từ cạnh trước, trong khoảng thời gian ấy thì khối lập phương đã di chuyển sang phía phải. Hình minh họa cho hiện tượng được biết đến đó là sự quay Terrell hoặc hiệu ứng Terrell–Penrose.[note 1]

Một ví dụ khác về hình ảnh biểu kiến hiện lên khác lạ so với đo lường từ quan sát của chuyển động siêu sáng (superluminal motion) ở nhiều thiên hà vô tuyến, vật thể BL Lac, quasar, và các thiên thể thiên văn vật lý khác phát ra các tia có vận tốc tương đối tính chứa vật chất dưới một góc hẹp so với tầm nhìn của quan sát viên. Và ảo ảnh quang học xuất hiện khi dường như chùm tia đang chuyển động nhanh hơn so với tốc độ ánh sáng.[30][31][32] Ở hình. 1‑14, thiên hà M87 phóng ra chùm các hạt hạ nguyên tử với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng hướng về Trái Đất, nhưng hiệu ứng quay Penrose–Terrell khiến cho chùm tia dường như hiện lên đang chuyển động ngang so với hướng quan sát tương tự như hình ảnh hiện lên của khối lập phương trong hình. 1‑13 đã bị kéo dãn ra.[33]